Алексей Граббе родился 2 июля 1947 года в Москве в семье актёра Николая Граббе и актрисы Маргариты Докторовой.
В детстве посещал элитарную школу-интернат, о чём рассказывал в интервью: Эта школа была устроена после визита Н.С.Хрущева в США на манер тамошних элитных интернатов. Только у нас она предназначалась для детей, как сейчас говорят, из "неблагополучных семей", поэтому меня приняли туда "в порядке исключения", поскольку жил я рядом, а родители почти всегда были на работе или в разъездах.
В школе "неблагополучных детей" обучали в числе прочего фехтованию, боксу, атлетике, автоделу, английскому языку, игре на фортепьяно и пению в хоре, был свой театр. Еще я занимался на киностудии во Дворце пионеров операторским мастерством.
С 16 лет по желанию отца перешел в вечернюю школу и начал работать токарем на заводе при НИИ Радио.
В 1971 году окончил театральное училище им. Щукина (курс Ю. В. Катина-Ярцева) и был принят в Театр на Таганке.