Борис Горшенин родился 13 апреля 1909 года.
В 1928 году окончил Саратовский театральный техникум и был принят в труппу Саратовского драматического театра.
В 1930—1934 годах — в театрах Ашхабада и Ярославля, с 1935 года в труппе Архангельского театра драмы.Его жена В. П. Соловьёва и дочь Наталья Горшенина так же были актрисами Архангельского театра драмы имени М. В. Ломоносова. Внучка Бориса Ивановича Татьяна Горшенина — актриса Архангельского театра кукол.Скончался 22 ноября 1974 г. Похоронен в Архангельске на Кузнечевском кладбище.