Алексей Горчаков был сыном князя Ивана Романовича Горчакова и сестры А. В. Суворова Анны.
В 1786 году поступил в армию и служил под началом своего дяди в русско-турецкой войне 1787—1792 годов.Горчаков отличился в 1789 году под Аккерманом и Бендерами; награждён 14 июня 1789 года орденом Св. Георгия 4-го кл. № 299 («За отличную храбрость, оказанную при атаке крепости Очакова» ).
В 1790 году он был назначен полковником Азовского полка.
В 1792 году Горчаков участвовал в польской войне, а семь лет спустя находился в швейцарской армии Римского-Корсакова, участвовал и войне с Наполеоном в Польше в 1806—1807 гг., в том числе в сражении при Гейльсберге. Награждён 22 августа 1807 года орденом Св. Георгия 3-го кл. № 167.в воздаяние отличнаго мужества и храбрости, оказанных в сражении 24-го мая против французских войск, где, командуя отдельным корпусом, благоразумными распоряжениями явил доказательство опытности и военных познаний, соединенных с отличною неустрашимостию, с коею, атаковав неприятеля при Глотау, опрокинул две колонны, овладел лагерем и Гутштатом и взял в плен 11 офицеров и 462 нижних чинаВарвара Юрьевна, женаКомандовал 17-й пехотной дивизией, пока его не сменил в войне со шведами Н. М. Каменский. Вигель писал про Горчакова: «человек добрый, весьма простой, который, будучи племянником Суворова, почитал обязанностию подражать ему в странностях и только что передразнивал его» .Горчаков многократно обвинялся в кражах и хищениях, однако во всех случаях был оправдан. По старшинству чина он заменил Барклая де Толли на посту военного министра в августе 1812 года.
В 1815 году комиссия снова обнаружила хищения и злоупотребления и в декабре 1815 года Горчаков был снят с поста военного министра.
В 1817 году уволен в отставку.Умер за границей. Погребён в Санкт-Петербурге на Лазаревском кладбище Александро-Невской лавры. Уже после его смерти, в 1827 году дело было закрыто.