Младший брат арфиста и композитора Жюля Годефруа. Их отец — театральный деятель, в результате финансовых проблем, переехал со всей семьёй во Францию в Булонь-сюр-Мер, где открыл музыкальную школу.
В 1832 году Феликс поступил в Парижскую консерваторию, где занимался по классу арфы под руководством Ф.-Ж. Надермана и Т. Лабарра.Впечатленный новой педальной (концертной) арфой, созданной в 1811 году Себастьяном Эраром, значительно расширившей технические возможности этого музыкального инструмента, Ф. Годефруа решил заняться концертной деятельностью. Усовершенствованная арфа Эрара с двойной педалью, заняла своё современное место как в оркестре, так и в качестве солирующего инструмента.
С 1839 года он начал успешный сольный тур по Европе и Леванту.
В 1847 году Ф. Годефруа обосновался в Париже и начал там концертировать. Будучи выдающимся виртуозом, «Паганини арфы» , он давал концерты по всей Европе.Ф. Годефруа обогатил игру на арфе новыми эффектами и дал левой руке равное с правой значение.Автор двух месс и двух опер («La fille de saul» и «La harpe d"or» ), сочинений для арфы: этюдов, дуэтов, транскрипции на мелодии Шуберта и несколько сочинений для фортепьяно.Его дидактической работой «Mes exercices pour la harpe» пользовались несколько поколений арфистов.