Родился в Санкт-Петербурге в семье известного биолога А. Г. Генкеля. Брат Павла и Марии Генкель. Затем семья переехала в Пермь, где он получил среднее и высшее образование.Окончил естественное отделение педагогического факультета Пермского университета (1925–1929).
В 1929–1941 годах работал в Пермском университете, сначала ассистентом, затем доцентом на кафедре ботаники.
В 1937 году А. А. Генкель возглавил университет марксизма-ленинизма при Пермском доме учёных, став его первым заведующим.
В первый год занятия посещали 81 человек: 13 профессоров, 28 доцентов и 40 ассистентов и младших научных сотрудников БиоНИИ. Работа университета велась по двухгодичной системе... Занятия проводились в субботу и воскресенье, и очень скоро, кроме записавшихся, их стали посещать еще 35–40 вольнослушателей. Популярность университета марксизма-ленинизма была большой, и в 1938 г. прием даже ограничили до 200 научных работников...
К лету 1941 г. все профессора, доценты и ассистенты университета окончили университет марксизма-ленинизма..mw-parser-output .ts-Конец_цитаты-source{margin: 0.357143em 2em 0 0;text-align: right}Участвовал в Великой Отечественной войне, служил в Свердловске, Уфалее, Уфе. Окончил школу минометчиков в Оренбурге, которую окончил в звании младшего лейтенанта. Умер в полевом госпитале от воспаления легких. Во время учёбы в Пермском университете, в 1925 и 1926 году вместе с А. Г. Генкелем и П. А. Генкелем работал в экспедиции Комитета Северного морского пути, базировавшейся на ледоколах «Малыгин» и «Седов» , изучая кормовую базу рыб Карского моря.
В 1927 году, ещё будучи студентом, в должности геоботаника А. А. Генкель вместе с П. Н. Красовским участвовал в экспедиции в междуречье Тобола и его притока Ишима (тогда Курганский округ Уральской области) под руководством почвоведа В. В. Никитина с целью изучения почв, растительности и животного мира лесостепного Зауралья.
В 1927–1929 годы А. А. Генкель и П. Н. Красовский изучали Западно-Сибирскую лесостепь. А. А. Генкель исследовал водную и болотную флору, обнаружив 320 видов различных растений и описав растительность свыше 60 болот, собрал гербарий и образцы торфа. Изучая болота, А. А. Генкель опирался на опыт болотоведа В. С. Доктуровского, который одним из первых в стране применил метод спорово-пыльцевого анализа: этот метод он успешно использовал при исследовании торфяников карстовых воронок Кунгурской лесостепи.Исследования А. А, Генкеля были посвящены различным формациям лесов, болот, торфяников; они охватили обширную территорию Пермской области, охарактеризовали её растительность в целом и послужили основой для геоботанического районирования и составления карты растительности Пермской области (при сотрудничестве с В. А. Крюгером).
В предвоенные годы им были проведены большие работы по изучению болот. Эти исследования захватили болота и торфяники Западно-Сибирской лесостепи, Южного Урала, Белоруссии, долины Камы и островной Кунгурской лесостепи. Они осветили растительность, строение, жизнь, возраст торфяников и отчасти историю лесной растительности по данным пыльцевого анализа торфа.Помимо районирования торфяников края, анализа особенностей болотообразовательного процесса в Прикамье, а также типов болот этой территории, основываясь на составе торфа и данных споро-пыльцеватых анализов, воссоздавал историю развития растительности Западного Урала.А. А. Генкель пришел к заключению, что торфы хранят «записи» прошлого данной территории. По сохранившимся в торфе спорам и пыльце растений можно составить представление о былой растительности и, стало быть, о климатической обстановке, какой она была на Земле в отдельные исторические периоды.С. Ф. Николаев