В 1946 году поступил в шахматный кружок Ленинградского Дворца пионеров.
В 1949 году вместе с командой Ленинграда победил на юниорском командном первенстве СССР по шахматам, где играл на первой доске.
В том же году разделил с Борисом Спасским первое-второе места на юношеском чемпионате Ленинграда.
В 1959 году занял второе место в чемпионате Ленинграда по шахматам (победил Борис Спасский) и выполнил норму мастера спорта СССР. Неоднократный участник командных шахматных соревнований Ленинграда, а также участвовал в составе сборной Ленинграда в матчах с другими городами (Москва, Будапешт).Позднее активно играл по переписке. Вместе с командой Ленинграда победил в 6-м командном первенстве СССР по шахматной переписке и показал лучший результат на шестой доске.
В 1983 году Международная федерация шахматной игры по переписке (ИКЧФ) присвоила Александру Геллеру звание международного мастера. Был также известен как судья на многих крупных шахматных соревнованиях.
В 1988 году Международная шахматная федерация присвоила Геллеру звание международного арбитра.Внёс большой вклад в популяризацию шахмат. Как постоянный автор сотрудничал с изданиями «64» , «Шахматы в СССР» , «Шахматы» , и был хорошо известен своими юмористическими рассказами о событиях из жизни шахматистов.По профессии — юрист-патентовед. Многие годы работал экспертом в отделе патентов Ленинградского оптико-механического объединения ЛОМО (1962—2010), заслуженный работник ЛОМО.Примечания Championship of USSR (team juniors) - 1949 Таблица юношеского чемпионата города Ленинграда 1949 года Championship of Leningrad - 13.5-2.6.1959 IM Geller, Aleksandr Girshevich