Сын ремесленника, католик.
В 1909—1914 годах учился в педагогическом училище в Шпайере.
В 1914—1918 годах участвовал в Первой мировой войне добровольцем.
В 1920 году сдал государственные экзамены и работал учителем.
В 1921 вступил в одну из национал-социалистических групп.
В 1923 участвовал в мероприятиях нацистов против сепаратистского движения в Пфальце. При повторном основании НСДАП в 1925 он вступил в эту партию.
В 1926 избран гауляйтером Рейнланд-Пфальца.После присоединения Саарской области к Германии Гитлер назначил Бюркеля комиссаром по гау Саар.
В 1935 году Саар и Рейнланд-Пфальц были объединены в один гау Саарпфальц, который, в свою очередь, в 1942 был объединён с Лотарингией в рейхсгау Вестмарк. Руководство гау находилось в городе Нойштадт-ан-дер-Вайнштрассе, с 1940 Саарбрюккен. Бюркель оставался в должности гауляйтера до своей смерти в 1944 г.
В 1936 году ему присвоено звание обергруппенфюрера СА, в 1937 — группенфюрера СС.
С 1930 — член рейхстага, с 1934 — саарский уполномоченный имперского правительства, с 1935 — рейхскомиссар по возвращению Саара, затем с 1936 рейхскомиссар по Саару.
В 1938 получил задание реорганизовать запрещённую в Австрии нацистскую партию и подготовить почву для австрийского плебисцита по вопросу об аншлюсе. После аншлюса назначен рейхскомиссаром по возвращению Австрии в состав рейха, а с 1939 — государственный шатгальтер в Австрии (Остмарке).
В 1939 назначен имперским комиссаром обороны по военному округу XVII, а с 1940 — начальник гражданской администрации Лотарингии, с 1941 имперский штатгальтер Вестмарка.
В Лотарингии он организовал депортацию прибывших в область после 1918 французских семей и «элементов, дружественных Франции» , во «внутреннюю Францию» (то есть на территории, не аннексированные гитлеровской Германией). 22 октября 1940, в рамках так называемой акции «Вагнера — Бюркеля» , он распорядился о высылке всех евреев в концлагерь в неоккупированной зоне Режима Виши.
С 30.01.1942 обергруппенфюрер СС.Умер 28 сентября 1944 вместе с женой (возможно, самоубийство) при невыясненных обстоятельствах, которые связывают с борьбой за власть, развернувшейся после покушения на Гитлера.
В свидетельстве о смерти, однако, указано, что он страдал от ряда болезней на фоне ослабленного иммунитета и полного истощения в результате работы на износ.