Родился в 1865 году в семье шорника Иоганна Мельтретера (нем. Johann Baptist Nicolaus Mehltreter) и прачки Фредерики Экхарт (нем. Friederike Louise Charlotte Eckhart; 1837—1868).
В 1874 году усыновлён секретарём районного суда Фридрихом Бюргером (нем. Friedrich Burger).
С 1885 по 1889 год Отто Бюргер изучал биологию в Гёттингене, Лейпциге и Фрайбурге. Диссертацию, посвящённую морским червям немертинам, защитил в стенах Гёттингенского университета под руководством профессора Эрнста Элерса.
В 1890 году по рекомендации нидерландского зоолога Амброзиуса Хюбрехта Отто Бюргер отправился на Зоологическую станцию в Неаполь, где в течение нескольких лет продолжал исследовать немертин.
Он выпустил несколько фундаментальных публикаций по систематике и анатомии этой группы беспозвоночных, провёл тщательную ревизию всех описанных к тому времени видов. Кроме того, Бюргер обрабатывал фаунистические сборы нескольких экспедиций, в том числе Немецкой глубоководной экспедиции судна «Вальвидия» и Бельгийской антарктической экспедиции судна «Бельгика» .
В 1896—1897 годах Бюргер принимал участие в экспедиции в Венесуэлу и Колумбию.
В 1900 году получил позицию профессора в Университете де Сантьяго де Чили, где работал до отъезда в Германию в 1908 году. За эти восемь лет он обстоятельно изучил фауну Чили и увлёкся экономикой Южной Америки.
В 1920-х годах Бюргер опубликовал монографии по экономике Чили, Венесуэлы, Колумбии и Аргентины.