В 1953 году окончил биолого-почвенный факультет Московского государственного университета.
С 1953 по 1964 годы работал в должности старшего научного сотрудника Зоологического музея МГУ.
В 1958 году получил степень кандидата биологических наук. Темой своей кандидатской диссертации выбрал «Птицы Центрального Кавказа» . Затем в 1972 году становится доктором биологических наук по специальности зоология. Тема докторской диссертации — «Птицы гор Южной Палеарктики» . Учёное звание профессора по специальности получил в 1990 году.
В период с 1976 по 2000 гг. заведовал Орнитологической лабораторией МГУ. Бёме являлся членом специализированных диссертационных советов в МГУ, ИЭМЭЖ (ИПЭЭ) им. А. Н. Северцова РАН и НИИ охраны природы, Научного совета НИИ охраны природы, Учёного совета Московского зоопарка, Международного Совета по охране птиц, президиума Орнитологического общества СССР.