Сперва обучался в духовной семинарии. Затем перешёл на факультет искусств Карлова университета, где одновременно посещал лекции по математике, физике и астрономии. После его окончания в 1833 году стал работать в Венской обсерватории в Вене ассистентом Йозефа Иоганна Литрова.Позже — профессор математики Зальцбургского университета.
В 1839 году был назначен ординарным профессором математики и практической геометрии в Инсбрукского университета.
В 1848 году был избран ректором университета в Инсбруке.
В то же время был секретарём Тирольского сельскохозяйственного общества.
В 1852 году Й. Бём был назначен директором Пражской обсерватории. Одновременно — профессор теоретической и практической астрономии в Пражском университете. Возглавлял комитет по организации реставрационных работ Пражских курантов.
В 1863 году перенёс тяжелую пневмонию, от последствий которой так и не оправился. 26 января 1868 года умер в Пражском Клементинуме от туберкулёза лёгких. Занимался исследованиями в области астрономии, физики, геомагнетизма, метеорологии, баллистики и сельского хозяйства.
В астрономии учёного, в первую очередь, интересовали солнечные пятна и вопросы вращения Солнца. Им был разработан новый метод одновременного определения широты и азимута видимого движения небесной сферы.Им также изобретён Ураноскоп, устройство для более легкой идентификации звёзд. Инструмент направленный на звезду, указывает на подсоединенном к нему небесном глобусе на наблюдаемый звёздный объект.Член Королевского чешского научного общества с 1853 года. Член Леопольдины (с 1857).