Эрнст Бёэ родился в семье офицера. Благодаря тому, что старший брат Бёэ Карл был дирижёром, ещё гимназистом занимался под руководством друзей своего брата — Рудольфа Луиса (композиция) и Йозефа Пембаура-младшего (фортепиано). Затем учился в Мюнхенской консерватории в классе композиции Людвига Тюйе.Как композитор дебютировал в самые первые годы XX века несколькими циклами песен, с одним из которых выиграл объявленный газетой Die Musik-Woche композиторский конкурс.
В последующие несколько лет выступил с несколькими симфоническими произведениями, среди которых центральное место занимают четырёхчастная симфоническая поэма «Из странствий Одиссея» (нем. Aus Odysseus" Fahrten, Op. 6, 1901—1904) и симфоническая поэма «Таормина» (Op. 10, 1906). Финал первой из них, «Возвращение Одиссея» , прозвучал под управлением автора в рамках фестиваля Всегерманского музыкального общества в Граце (1905), подготовленного Густавом Малером, Рихардом Штраусом и Вильгельмом Кинцлем. Произведения Бёэ исполнял в Бостоне и Нью-Йорке Бостонский симфонический оркестр под управлением Вильгельма Герике и Карла Мука. О выдающемся успехе музыки Бёэ при британском исполнении вспоминал в своих мемуарах Генри Вуд. Творчество Бёэ лежало в русле германской позднеромантической традиции, сформировавшись под влиянием центральных фигур южногерманской музыкальной жизни — Штрауса и Макса фон Шиллингса.
В 1907 году Бёэ и Вальтер Курвуазье были назначены совместно руководить так называемыми «народными концертами» мюнхенского Кайм-оркестра, после чего Бёэ практически оставил композицию, полностью посвятив себя дирижированию.
В 1913 возглавил Ольденбургскую придворную капеллу, более или менее благополучно проведя её через тяжёлые годы Первой мировой войны и в 1919 получив звание генеральмузикдиректора.Начиная с 1920 года и до конца жизни руководил Земельным симфоническим оркестром Пфальца и Саарланда.Скоропостижно скончался от воспаления лёгких.