Родом из крестьянской семьи. Окончив начальную школу, в 1894 году Францишек сдал экзамены с отличием в средней школе в Бохне.
В 1894—1900 годах учился на факультете истории и права Ягеллонского университета (исследования в области гуманитарных наук — история, историко-географические и правовые науки) под руководством профессоров: Станислав Смолка (польск. Stanislaw Smolka), Винцента Закржевского (польск. Wincentego Zakrzewskiego), Анатолия Левицкого (польск. Anatola Lewickiego), Болеслава Улановскиева (польск. Boleslawa Ulanowskiego), с 1897 — ассистент этого вуза.
В 1899 году он получил степень доктора философии в исторической географии, затем научный интерес и исследования изменились в сторону социальной и экономической истории.
В 1901—1902 годах жил и изучал право в Лейпциге, Риме и Генуе.
Он был тогда помощником в Ягеллонском университете, библиотекарем библиотеки Ягеллонского университета и архивариусом в Краевом архиве Кракова (Archiwum Krajowym Aktow Grodzkich i Ziemskich). Был членом Национальной лиги (Национальная лига — тайная политическая организация, созданная 1 апреля 1893 года, центр национального движения. Распалась в 1928 году.).
В 1905 году стал хабилитатом кафедры истории Польши в Ягеллонском университете на основе работы по изучению поселений Малой Польши.
Это была первая работа по экономической истории в истории польской науки.
С 1905 по 1919 он работал в этой области деятельности в Ягеллонском университете, создав первый центр научно-экономической истории (заведующий кафедры экономической и общей истории Польши); с 1909 года — адъюнкт-профессор.
С 1917 года — член-корреспондент, с 1922 — академик польской АН.Во время Первой мировой войны разработал проект сельскохозяйственных реформ.Буяк был экспертом польской делегации на Парижской мирной конференции в 1919 году, занимался экономическими вопросами.
В 1919 году он присоединился к Варшавскому университету, а также Высшей коммерческой школе в Варшаве, как ординарный профессор.
С апреля (по другим данным, июня) по июль 1920 года Буяк был министром сельского хозяйства и государственных активов в правительстве Владислава Грабского.
С учебного года 1920/1921 переведён в Львовский университет, где был профессором и главой Департамента по экономической и социальной истории. Работал там до 1939 года. 1926-27 — председатель наблюдательного совета польского сельскохозяйственного банка.
С 1928 — куратор Союза польской академической молодежи «Засев» («Posiew» ) во Львове, с 1929 — его почётный член.
В 1935 году построил в родном селе Народный дом с библиотекой.
В 1939 году избран в состав Совета секретариата польских общественных организаций во Львове. Во время Второй мировой войны участвовал в подпольном движении во Львове и Кракове.
В 1945 году экспатриирован из Львова в Краков.
В 1946 году он возглавил кафедру кооперативной экономики сельскохозяйственного факультета Ягеллонского университета (исследование кооперативов).Буяк принимал активное участие в научной жизни страны и играл значительную роль в качестве организатора науки.
В 1948 году он вышел в отставку, а в 1949 году опубликовал последние научные работы.
Он был похоронен на Раковицком кладбище в Кракове.
Он был отцом Якуба Буяка.
Карта сайта
