Родился в зажиточной семье среднего класса, прадед Буша основал успешное химическое производство.
В 1918—1922 гг. учился в Королевской академии музыки у Фредерика Кордера (композиция) и Тобайаса Маттея (фортепиано); завоевал ряд студенческих призов и премий.
В студенческие годы написал первые фортепианные пьесы зрелого характера и черновую редакцию ранней оперы «Последние дни Помпеи» , которую впоследствии уничтожил. По окончании курса продолжал частным образом изучать композицию под руководством Джона Айрленда (вплоть до 1927 г.). Как пианист несколько лет совершенствовал своё мастерство у Бенно Моисеивича, во второй половине 1920-х гг. занимался в Берлине у Артура Шнабеля.
В 1925—1954 гг. преподавал в Королевской академии музыки гармонию и композицию. Основал (1936) Рабочую музыкальную ассоциацию Англии, с 1941 года её почётный президент. Неоднократно посещал СССР с гастролями. Обрабатывал на современный лад народные английские песни, а также написал несколько десятков песен для эстрадного исполнения.
В качестве музыковеда писал статьи по истории музыки в целом.