Родители отца Юрия — крестьяне, переселившиеся в Среднюю Азию из Полтавы в конце XIX века. Глава семьи скончался в дороге. Осиротевшая семья осела в Ташкенте. Необходимость заботится о хлебе насущном заставила отца Юрия еще мальчишкой устроиться на работу в Среднеазиатские железнодорожные мастерские. Не имея возможности учиться, подросток занялся самообразованием, освоил профессию слесаря, затем работал помощником машиниста. Когда грянула гражданская война, принял в ней участие, был ранен (из-за ранения его впоследствии не взяли на фронт в годы Второй мировой войны). Федор Буряков, пройдя соответствующую учебу, был принят на работу в сферу финансов.По материнской линии род Юрия Бурякова также крестьянский. Быковы переселились из Сибири и осели тоже в Ташкенте. Наталья Степановна отличалась от своих сестер особой домовитостью, чем и покорила сердце Федора, к тому времени уже имевшему семью.Поскольку финансовая система Средней Азии была единой, работников постоянно перебрасывали с одного места на другое — семье Буряковых пришлось немало путешествовать. Так и получилось, что старшая сестра Юрия, Майя, родилась в Кулябе (Таджикистан), Юра — в Учкургане (Кыргызстан), младший брат, Евгений, — в Карасу(Казахстан). Потом отца, как опытного работника, перевели в Ташкент в Республиканский банк. Здесь, в Ташкенте, в 1951 году Юрий и окончил школу. Сомнений, что делать дальше, не было — еще в школе произошло первое, пока еще мимолетное соприкосновение со своим жизненным призванием, Ю. Буряков наблюдал проезд через Чуйский канал научной экспедиции под руководством Александра Натановича Бернштама, проводившей надзор на Большом Ферганском канале. Тем же летом поступил на исторический факультет Среднеазиатского государственного университета.
В то время на факультете преподавали такие легенды археологии как М. Е. Массон, Г. А. Пугаченкова, Е. А. Давыдович. Маститые ученые, высокоинтеллигентные люди и замечательные педагоги, увлеченные своей работой, они не только делились своим опытом, но стремились заразить студентов любовью к истории этого самобытного древнего края.Хотя специализация начиналась с третьего курса, посещать лекции по археологии можно было всем желающим, чем и воспользовался Буряков с первых же дней занятий.
В числе участников СНАКа (Студенческий научный археологический кружок) имел возможность присутствовать на заседаниях кафедры, слушать доклады и сообщения таких видных ученых, как: археологи — Борис Борисович Пиотровский и Михаил Евгеньевич Массон, востоковеды — Евгений Карлович Бетгер и Ольга Дмитриевна Чехович, искусствовед — Галина Анатольевна Пугаченкова и другие.