Родился 20 мая 1924 года в селе Лебяжье Камызякского района Астраханской области в крестьянской семье. Казах. Окончил 7 классов, курсы трактористов. Трудился в колхозе, затем на моторно-рыболовецкой станции.
В РККА с 1942 года.
На фронте в Великую Отечественную войну с сентября 1942 года. Боевое крещение получил в составе 121-го отдельного понтонно-мостового батальона 28-й армии по охране реки Караульная Красноярского района Астраханской области.
В 1943-44 годах принимал участие в боях по освобождению Ростова, Донбасса, Приднепровья, Крымского полуострова от Перекопа до Севастополя.Сапёр 212-го батальона инженерных заграждений красноармеец Юсуп Бухаев в составе штурмовой группы 8 апреля 1944 года в полутора километрах северо-западнее посёлка городского типа Армянск Автономной Республики Крым проделал проход в проволочном заграждении и обезвредил около четырёх десятков мин. Красноармеец Бухаев Ю. Р. одним из первых ворвался в расположение противника и уничтожил несколько вражеских солдат. Приказом командира 87-й стрелковой дивизии от 11 апреля 1944 года за мужество и отвагу, проявленные в боях, красноармеец Бухаев Юсуп Рахметович награждён орденом Славы 3-й степени.Командир отделения 105-го отдельного моторизованного штурмового инженерно-сапёрного батальона ефрейтор Юсуп Бухаев с группой сапёров 12 января 1945 года при наступлении в районе польского населённого пункта Шидлув обезвредил до шестидесяти противотанковых мин, провел через проход в минном поле стрелковые подразделения. Приказом по войскам 1-го Украинского фронта от 14 апреля 1945 года за мужество и отвагу, проявленные в боях, ефрейтор Бухаев Юсуп Рахметович награждён орденом Славы 2-й степени.25 апреля 1945 года командир отделения 105-го отдельного моторизованного штурмового инженерно-сапёрного батальона младший сержант Юсуп Бухаев в бою за город Баутцен подавил два пулемёта, поразил семерых противников, и с бойцами вверенного ему отделения ворвался на северную окраину города, выведя из строя три вражеские огневые точки и большое количество солдат противника. За мужество и отвагу, проявленные в боях, 16 июня 1945 года младший сержант Бухаев Юсуп Рахметович повторно награждён орденом Славы 2-й степени.
С июня 1944 года по январь 1945 года Ю. Р. Бухаев служил в Московском военном округе в Резерве Ставки Верховного главнокомандующего. Член ВКП/КПСС с 1945 года.
В дальнейшем, в составе войск 13-й армии, освобождал Польшу, Германию, Чехословакию. 26 апреля 1945 года на реке Шпрее был ранен.После войны служил на австрийско-чехословацкой границе.
В 1947 году в звании старшины демобилизован. Вернулся в Астраханскую область — в родное село Лебяжье. Работал сначала в промышленной артели, затем председателем сельского Совета, бригадиром государственного лова рыбозавода имени Кирова, секретарём партийной организации, заведующим фермой, бригадиром растениеводческой бригады колхоза «Россия» , председателем профкома.Указом Президиума Верховного Совета СССР от 20 декабря 1951 года за образцовое выполнение заданий командования в боях с немецко-вражескими захватчиками старшина запаса Бухаев Юсуп Рахметович перенаграждён орденом Славы 1-й степени, став полным его кавалером.
В 1966 году Ю. Р. Бухаев окончил Высшую партийную школу в Астрахани.
С 1985 года — на пенсии.
В 1987—1999 годах — председатель Совета ветеранов села Полдневое. Проживал в Астрахани, где и скончался 17 июня 2016 года.Награждён орденами Отечественной войны I степени, Славы трёх степеней, медалями.