Андрей Будяковский родился 2 (15) октября 1905 года в Санкт-Петербурге. Его отец, Евгений Болеславович Будяковский, происходил из обедневшего польского дворянского рода. Мать, Анна Ивановна Иванова, была племянницей книгоиздателя Петра Петровича Сойкина.
В 1924 году Андрей Будяковский поступил на факультет истории музыки Государственного института истории искусств. Во время учёбы написал ряд работ: «О современных течениях в русской музыке» , «О психологии творчества Вагнера» , «Дебюсси и русская музыка» , «„Руслан и Людмила“ Глинки в освещении русской критики» , «Прелюдии Шопена» , «Принципы использования музыкального наследия в условиях советской музыкальной культуры» и другие.
В 1929 году он окончил Музыкальное отделение Высших государственных курсов искусствоведения при Государственном институте истории искусств и поступил в аспирантуру. Научный руководитель Б. В. Асафьев так отзывался о нём: А. Е. Будяковский известен мне как энергичный, дельно работающий исследователь в области формы и стиля, причём, при достаточно основательной эрудиции и знании музыкальной литературы, он умеет соединить оценку произведения в исторической перспективе со строго рациональным обоснованием природы и стилистических особенностей произведения. Добавлю ещё, что при своих несомненных организаторских способностях, Будяковский всегда стоит в кругу самых живых проблем и заданий музыкальной действительности.
С 1929 года Будяковский работал лектором в Ленинградской филармонии. Сотрудничал в журналах «Жизнь искусства» , «Рабочий и театр» , «Советская музыка» , «Советское искусство» , в газетах «Музыка» , «Смена» , «Ленинградская правда» , «Известия» и других периодических изданиях.
В 1931 году окончил аспирантуру.
В 1931—1937 годах — старший научный сотрудник Академии искусствознания, учёный секретарь музыкального отдела.
С 1934 по 1939 год преподаватель на кафедре истории музыки Ленинградской консерватории (с 1935 года доцент). Помимо этого, Будяковский преподавал в Коммунистическом институте им. Крупской и в Музыкальном училище.Как лектор Концертного бюро Ленинградской филармонии, Будяковский ездил по стране с филармоническим оркестром. Прочёл более 1000 лекций и вступительных слов о русской, советской и западноевропейской музыке, некоторые из которых транслировались по радио.
В 1934 году стал членом Союза композиторов СССР (в 1936—1937 годах — председатель секции теории и критики). Занимался исследованием творчества П. И. Чайковского.После начала Великой Отечественной войны остался в блокадном Ленинграде. Принимал участие в концертах Ленинградской филармонии. Простудился во время дежурства на крыше филармонии и скончался 25 декабря 1941 года от пневмонии.