Окончил 1-й Московский медицинский институт им. И. М. Сеченова (1976).
В тот же год поступил в аспирантуру на кафедре эпидемиологии, окончил её с защитой кандидатской диссертации.
В 1979—1982 гг. ассистент той же кафедры.
В 1982-85 гг. в Алжире — консультант по эпидемиологии.
С 1986 г. и поныне заведующий лабораторией по разработке новых технологий эпидемиологического надзора и профилактики инфекционных болезней — в альма-матер, где также в 1995—1997 гг. заведующий курсом эпидемиологии кафедры информатизации и управления охраной здоровья населения МПФ последипломного образования и с 1997 г. профессор родной кафедры.
В 2004—2005 гг. одновременно зам. начальника отдела по вопросам благополучия человека Департамента фармацевтической деятельности, обеспечения благополучия человека, науки, образования Министерства здравоохранения и социального развития Российской Федерации.
С 2009 года возглавляет кафедру эпидемиологии и доказательной медицины медико-профилактического факультета Первого МГМУ им И. М. Сеченова, сменил в этой должности В. И. Покровского, учеником которого является, член Ученого Совета вуза. Председатель Профильной комиссии МЗ РФ по специальности «Эпидемиология» , консультант медицинской службы ФСО России, член экспертного совета Высшей аттестационной комиссии Министерства науки и образования Российской Федерации и диссертационного совета при Центральном научно-исследовательском институте эпидемиологии Роспотребнадзора.Под его началом защищено 8 докторских и 12 кандидатских диссертаций.Президент НАСКИ.Академик РАМТН и МАИ.Член правления Национального научного общества инфекционистов.
В 1996—2007 гг. председатель правления Московского отделения Всероссийского научно-практического общества эпидемиологов, микробиологов и паразитологов (ВНПОЭМП), член Национальной комиссии по сертификации ликвидации полиомиелита в России.Заместитель главного редактора журнала «Эпидемиология и инфекционные болезни» и член редколлегий ряда журналов.Награжден Почетной грамотой Минздравсоцразвития (2008), значком «Отличник здравоохранения России» (2009), памятной медалью «90 лет Государственной санитарно-эпидемиологической службе России» (2012), высшей ведомственной наградой — медалью «За заслуги перед отечественным здравоохранением» (2013), Почетной грамотой РАМН (2013). Имеет благодарности Министерства здравоохранения и социального развития Российской Федерации и руководства Центров по контролю за инфекционными болезнями США, а также руководителя Федеральной службы по надзору в сфере защиты прав потребителей и благополучия человека (2010).
На сайте Первого МГМУ им. И. М. Сеченова отмечается, что Н. И. Брико «пользуется заслуженным авторитетом и уважением среди медицинской общественности страны» .Автор свыше 560 печатных трудов, 5 монографий, 8 книг, 6 учебников, 11 руководств и пособий для врачей и студентов, 7 патентов и авторских свидетельств.