Алексей Ботвинов родился 8 сентября 1964 в Одессе в семье музыкантов. Его отец Ботвинов Иван Дмитриевич (1917—1980), был композитором и музыковедом; занимал должность заведующего кафедрой теории музыки и проректора Одесской консерватории. Мать, Беляева Вера Александровна (1943) — пианистка, концертмейстер (Одесская консерватория). После развода родителей и заключения матерью второго брака, с девяти лет воспитывался отчимом, Анатолием Ивановичем Дудой (1946) — Народный артист Украины, певец (тенор), педагог по вокалу (Одесский национальный академический театр оперы и балета, Одесская консерватория).Музыкальное образование начал получать в Одессе, у проф. Могилевской С. Л.
С 1981 по 1985 учился в Одесской консерватории у проф. Кардашева А. А.; был Ленинским Стипендиатом, окончил экстерном с отличием.
В 1983, в возрасте 19 лет, стал самым молодым участником и лауреатом 1 Всесоюзного конкурса имени Рахманинова (Москва), после чего стал солистом Одесской филармонии и преподавателем консерватории.
В 1987—1989 проходил стажировку в Московской консерватории у проф. Горностаевой В. В.
С 1994 проживал и работал за границей, оставаясь гражданином Украины и сохраняя за собой позицию солиста Одесской филармонии.
В настоящее время проживает в Одессе, совмещая выступления в качестве солиста Одесской филармонии с гастролями по всему миру.