В 1954 году окончил механико-математический факультет МГУ.
В 1959 году защитил кандидатскую диссертацию в Институте математики им. В. А. Стеклова.
С 1960 года работает в Институте математики им. С. Л. Соболева СО АН СССР.
В 1963 году стал доктором физико-математических наук.
В 1965 году стал профессором.
С 1 июля 1966 года — член-корреспондент Академии наук СССР по отделению математики.
С 15 декабря 1990 года — академик Академии наук СССР (с 1991 года — РАН).Проживает в Новосибирске, работает в Институте математики СО РАН, параллельно возглавляет кафедру теории вероятностей и математической статистики механико-математического факультета Новосибирского государственного университета. А. А. Боровков является главным редактором издаваемого Институтом математики СО РАН журнала «Математические труды» (англоязычная версия журнала издаётся под названием «Siberian Advances in Mathematics» ).