Александр Исаакович Борохов родился 11 января 1925 года в селе Орловка (ныне — Черниговская область Украины). Участвовал в Великой Отечественной войне. После её окончания приехал в Смоленск, поступил в Смоленский государственный медицинский институт, окончил его в 1949 году, после чего в течение трёх лет работал в клинической ординатуре при кафедре факультетской терапии под руководством заслуженного деятеля науки РСФСР, профессора Константина Васильевича Пунина.
В 1952—1957 годах служил в Военно-морском флоте СССР, руководил терапевтическими отделениями в военно-медицинских учреждениях.После увольнения в запас в феврале 1957 года Борохов вернулся в Смоленск.
На протяжении десяти лет он работал на кафедрах сначала факультетской, а затем госпитальной терапии Смоленского государственного медицинского института в качестве ассистента, доцента.
В 1960 году защитил диссертацию на соискание учёной степени кандидата медицинских наук по теме: «Изменение функции внешнего дыхания у больных с хроническими неспецифическими процессами в легких под влиянием некоторых лечебных и диагностических приемов» ; а в 1966 году стал доктором медицинских наук, защитив диссертацию по теме: «Аутоиммунизация при острых и хронических неспецифических воспалительных процессах в легких» .
В 1967—1995 годах заведовал кафедрой госпитальной терапии, затем до конца жизни был профессором этой же кафедры. Параллельно с преподавательской работой активно занимался врачебной практикой, был главным консультантом Смоленской больницы № 3, долгие годы возглавлял Смоленское областное научное общество врачей-терапевтов. Кроме того, занимался научно-исследовательской работой, опубликовал более 200 научных работ, 9 из которых — монографии. Основные научные интересы — болезни лёгких и сердца. Являлся ответственным редактором 15 книг. Совместно с С. К. Зубковым и В. Г. Степановым Борохов разработал новый метод лечения астмы, нашедший применение в отечественной медицине. Кроме того, он руководил первым в Советском Союзе эпидемиологическим исследованием хронических болезней лёгких. По его инициативе и при непосредственном участии в Смоленске было создано одно из первых в СССР пульмонологическое отделение и первые в области отделения неотложной кардиологии. Под руководством Борохова были защищены 26 кандидатских и 3 докторских диссертации.Умер 28 декабря 2005 года, похоронен на Тихвинском кладбище Смоленска.Был удостоен звания заслуженного врача Российской Федерации (21.11.1995). Был также награждён орденами Отечественной войны 2-й степени и Дружбы народов, рядом медалей, в том числе серебряной медалью имени И. П. Павлова «За развитие медицины и здравоохранения» Российской академии естественных наук.
В память о Борохове установлены мемориальные доски на доме, где он жил (проспект Гагарина, дом № 7), а также на корпусе Смоленской клинической больницы скорой медицинской помощи.