Воспитанник черновицкого футбола (с 1963 года), свои первые шаги в большом футболе начал в местной «Буковине» . Там его приметили тренеры юношеской сборной СССР.Находясь на сборах в Москве, молодой футболист получил предложение перейти в киевское «Динамо» . Несколько лет Александр выступал за дублирующий состав и во многих матчах был его капитаном.
В 1975 году дебютировал в основном составе, в матче «Шахтёр» (Донецк)-«Динамо» (Киев), выйдя на замену вместо Анатолия Конькова и в первом же матче, отдал голевой пас на Блохина, забившего победный гол.В. В. Лобановский перевёл защитника Бойко в опорные полузащитники. Высоченный игрок, великолепно играл головой и был мастером подкатов (после этого приёма даже забивал голы).Дебютным голом в высшей лиге отметился в 1980 году, в матче «Динамо» (Киев)-ЦСКА.Пик карьеры игрока, приходится на 1979—1982 годы. Пользуясь доверием тренера, закрепился в основном составе, став двукратным чемпионом СССР и обладателем Кубка СССР, а также Кубка Сезона, в котором киевляне встречались с обладателем Кубка СССР «Шахтёром» и благодаря голу, забитому Бойко в основное время, в после матчевых пенальти, динамовцы завоевали почётный трофей.Вскоре из-за частых травм Александр Бойко закончил активную карьеру.
В 1990 году, играя за ветеранов киевского «Динамо» на турнире в Финляндии, Александра пригласили играть за местный клуб. Приглашение он принял и отыграл в Финляндии до конца сезона.
В последнее время тренирует мальчишек в киевской ДЮСШ на Теремках.
В данный момент является преподавателем физкультуры в Украинском государственном университете финансов и международной торговли в Киеве.