Богуш родился в городском поселке Кореличи (ныне Гродненская область). После окончания школы рабочей молодежи в Москве поступил на физико-математический факультет БГУ, который окончил с отличием в 1952 году. После нескольких лет преподавания в Могилевском пединституте, он в 1957 году поступил в аспирантуру Института физики АН БССР, где начал работу под руководством академика Ф. И. Федорова.
В 1963 году Богуш успешно защитил кандидатскую диссертацию, а в 1974 году — докторскую (это была первая защищённая в Беларуси докторская диссертация, посвящённая физике элементарных частиц).
В 1978 году он создал в институте Лабораторию физики высоких энергий, которую возглавлял до 2004. Одновременно в 1961—1997 годах он преподавал на физическом факультете БГУ, читал лекции по теории классических и калибровочных полей, теории групп в физике и др.Богуш подготовил 12 кандидатов и 4 доктора наук.
Он входил в состав редколлегий нескольких научных журналов, являлся членом советов по защите диссертаций. Работы Богуша посвящены теоретической физике и физике элементарных частиц и высоких энергий. Используя обобщенные групповые и алгебраические подходы, им были разработаны эффективные методы расчета амплитуд рассеяния частиц, дана формулировка теории частиц со спином в ковариантной форме, предложен метод обобщенных символов Кронекера.
На этой основе была развита последовательная трактовка теории классических полей (в том числе свободных и взаимодействующих), которая содержит простую схему описания процессов электрослабого взаимодействия. Развитый подход был применен для расчета характеристик конкретных ядерных реакций с учётом поляризации частиц и их возможной внутренней структуры.Ряд результатов Богуша получен в сотрудничестве с учеными из ОИЯИ в Дубне, Института физики высоких энергий в Серпухове, ФИАН имени П. Н. Лебедева, ОИЯИ в Москве, CERN в Женеве.
В частности, были установлены закономерности множественного рождения частиц, измерены сечения гиперзарядообменных реакций и параметры, свидетельствующие о сложной внутренней структуре частиц. Ряд работ был посвящён испытаниям калориметров для Большого адронного коллайдера.Много внимание Богуш уделял также истории развития физики в XX-м веке.