Богородский родился в селе Богородское Нижегородской губернии, по одним сведениям, в семье крестьянина, по другим — сельского пономаря.
В 1864 году Яков Алексеевич окончил Нижегородскую духовную семинарию.
В этом же году Богородский поступил в Казанскую духовную академию, которую окончил в 1868 году со степенью магистра богословия.
С 25 августа 1868 по 16 декабря 1870 года Яков Алексеевич преподавал словесность в Казанской духовной семинарии.
В этот период он женился на Екатерине Михайловне Ястребовой. Екатерина Михайловна Ястребова (20.08.1852 - 25.07.1876) — дочь Михаила Ястребова, священника Вознесенской церкви. 27 октября 1870 года у Богородских родился сын Алексей Яковлевич Богородский. 3 декабря 1870 года Яков Алексеевич избран доцентом по кафедре Библейской истории. 16 декабря 1870 года Богородский утверждён в должности инспектора семинарии.
В том же году по прочтении двух пробных лекций «Об Аврааме» , «Об идолопоклонстве евреев в период Судей» и по представлении труда «О фарисеях» он был избран доцентом Казанской духовной академии по Библейской истории.
С 1873 года он временно преподавал в академии гражданскую историю.
В 1874-1881 годах Богородский преподавал русский язык в Родионовском институте благородных девиц. 25 июля 1876 года умерла жена Богородского.
В 1878 году он получил чин надворного советника. Яков Алексеевич был членом комиссии по объяснению непонятных слов в пророческих книгах. Богородский печатал свои статьи в журнале Казанской академии «Православный собеседник» .
С 1882 году он — экстраординарный профессор кафедры библейской истории, Ветхого и Нового Заветов. 12 июня 1884 года за диссертацию «Еврейские цари» Яков Алексеевич был удостоен степени доктора богословия и премии митрополита Макария. Как сказано в «Протоколах» заседания Совета Академии, «история еврейских царей рассмотрена полно, всесторонне, строго научным образом» . Получил звание коллежский советник.
С 30 января 1885 года состоял в звании ординарного профессора. Получил звание статский советник. Яков Алексеевич много сил отдавал критическим отзывам на сочинения, представленные на соискание премии митрополита Макария. Умер в Казани 31 июля 1920 года, похоронен на Арском кладбище, в семейном некрополе рядом с могилой жены Екатерины Михайловны. Позже здесь был похоронен сын Алексей, внучки Екатерина и Ксения. Могилы находятся на II пешеходной аллее. Многочисленные потомки Богородского до сих пор живут в Казани. Часть из них — в двухэтажном деревянном особняке, построенном в швейцарском стиле в 1911 году Алексеем Яковлевичем Богородским, сыном Якова Алексеевича (дом № 42 улица Волкова).