Игорь Богодух родился 4-го марта 1938 года в Ростове-на-Дону.После общеобразовательной школы поступил в РГПУ на отделение физического воспитания. Окончив обучение, Игорь в течение недолгого времени работал по специальности. Затем неожиданно для многих решил связать себя с актёрской профессией и поступил в РУИ. Учёба прерывалась службой в армии.
В 1964 году Игорь окончил обучение и был принят на работу в Ростовский драматический театр им. М. Горького, где проработал до 2009 года, за эти годы блестяще создав целую галерею острохарактерных образов.
В 1985 году дебютировал в кино.
Это был фильм «Миллион в брачной корзине» по мотивам пьесы Скарначчи и Тарабузи «Моя профессия — синьор из общества» режиссёра В. Шиловского. Материал произведения Богодуху уже был знаком, ведь он с успехом играл на сцене Ростовского театра одну из главных ролей в спектакле — Антонио (именно эта роль досталась и в фильме, куда лично пригласил его сам Шиловский). Также наиболее известные фильмы с участием И. Богодуха: «Узник замка Иф» , «Морской волк» , «Блуждающие звёзды» , «Каталажка» , «Привал странников» , «Дневник убийцы» .