Родился в Сочи в семье служащих.
С 1959—1966 годы учился в Ленинградском суворовском военном училище.
В 1971 году закончил филологической факультет Ленинградского университета.Преподавал английский язык. Занимался литературным переводом. Переводил (по подстрочникам) таджикских писателей и поэтов. Эти переводы выходили в журналах «Дружба народов» , «Памир» , «Ирфон» и отдельными сборниками.Писать сценарии, пьесы, рассказы А. В. Богатырёв начал еще в студенческие годы. Его произведения печатались в журналах: «Москва» , «Звезда» , «Литературная учеба» , «Родина» , «Турист» . 2007—2009 годы был главным редактором журнала «Парфенон» .
С 1982 года работал по договорам на (тогда ленинградских) киностудиях. Сначала сценаристом, а в 1992 году состоялся дебют в качестве режиссера — снял фильм «Отрок военный» (по собственному сценарию).Александр Богатырёв много путешествовал по Греции, Италии, Испании, Португалии, Франции, Англии, Германии, Австрии, Америке, Иордании и другим странам.
Он часто бывал в Грузии, Таджикистане, Узбекистане, Армении и других бывших республиках СССР. Результатом этих поездок стали многие статьи и рассказы.Александр Богатырёв автор и режиссёр тридцати документальных фильмов: «Преображение» , «Мир горний» , «Рубеж» , «Крым православный» , «Патмос» , «В долготу дней» и других.Автор сценария художественного фильма «Всадник» , 1988, «Мосфильм» при участии «Ленфильма» , реж. Андрей Дружков.Участник, а с 1998 г. постоянный член жюри кинофестиваля Радонеж (Москва).Член жюри кинофестивалей «Вечевой колокол» (Краснодар), «Семья России» (Кострома), «Князь Владимир» (Севастополь).Постоянный автор интернет-сайтов «Православие.ру» и «Радонеж» . www. radonezh.ru, www. pravoslavie.ruСтатьи и рассказы православной тематики опубликованы в различных сборниках («Двери, двери» (Туапсе), «Рассказы» (Санкт-Петербург), «Ведро незабудок» (Москва), «Из грек в варяги» (Москва), «Чудо — дело тихое» (Москва)).