Александр Бобров родился 19 января 1961 года в селе Кобяки Кирсановского района Тамбовской области. После окончания средней школы поступил в Кирсановский совхоз-техникум, по специальности техника-механика сельхозмашин.После окончании техникума в 1980 году проходил службы в вооруженных силах в пограничных войсках.
В марте 1983 года в составе ограниченного контингента советских войск проходил службу в Афганистане.
В этот период ему приходилось участвовать в боевых операциях и рейдах по тылам противника. За успешное выполнение боевых задач был награждён знаком отличия «Воинская доблесть» .
До конца 80-х годов прошлого века продолжил службу в рядах вооруженных сил СССР.
В конце 80-х годов Бобров уволился из рядов вооруженных сил и вернулся в Тамбовскую область. Получил высшее образование, после чего начал трудовую деятельность в сфере ЖКХ. Первым местом работы стало жилищно-эксплуатационное управление (ЖЭУ) № 3 Ленинского района Тамбова. Затем он занимал посты заместителя начальника управления жилищного-коммунального хозяйства города Тамбова, заведующего отделом ЖКХ Ленинского района, заместителя главы администрации Октябрьского района города Тамбова по жилищно-коммунальному хозяйству.
На этих должностях приобрел существенный управленческий опыт.C 1998 года Бобров привлечен для работы в аппарате администрации города Тамбова.
С июля 2003 года Бобров возглавляет дочернее общество национальной холдинговой компании «Российские коммунальные системы» — «Тамбовские коммунальные системы» .
С 2008 года вступил в должность вице-мэра Тамбова. Как первый вице-мэр города Бобров курировал вопросы обеспечения деятельности городского хозяйства: благоустройство и санитарное состояние города, работу городского транспорта, жилищно-коммунальное хозяйство.
С 15 октября 2010 года назначен исполняющим обязанности главы администрации города Тамбова.
В должности главы администрации города Бобров проработал до 2015, после чего покинул пост в связи с окончанием полномочий.Бобров женат, имеет двоих сыновей.