Родился 12 февраля 1945 года в СССР.
В 1966 году окончил Школу-студию МХАТ (курс А. М. Карева). После выпуска служил в театре Ленком.
С 1968 года актёр Московского драматического театра имени М. Н. Ермоловой. Играл в спектаклях: «Балы и страсти Петербурга» , «Невольницы» , «Измена» , «Как любил я Вас!» , «Хищница» .
И по сей день он остаётся ведущим актёром этого театра.Карьера в киноВ 21 год Борис Быстров сыграл главную роль в сказке «Волшебная лампа Аладдина» .После громкого успеха в роли Аладдина, Быстров снялся ещё в нескольких картинах — «Удар! Ещё удар!» , «Приключения жёлтого чемоданчика» , «ТАСС уполномочен заявить…» и других. Однако эти роли не имели шумного успеха.
С 1970-х годов и по настоящее время (уже около тридцати лет) актёр работает на озвучивании мультфильмов и дубляже зарубежных художественных фильмов. Озвучивал Марлона Брандо во всех русских переводах.
В мультипликационных сериалах «Симпсоны» и «Футурама» он озвучил все мужские роли.СемьяПервая жена — Инна Кмит (1932—1996), дочь актёра Леонида Кмита.Дочь — Екатерина Кмит, актриса.Вторая жена — Татьяна Лейбель, балерина, танцовщица эстрадных танцев.Третья жена — Ирина Савина, актриса.Сын — Николай Быстров (р. 1989), актёр дубляжа.