Артём Быстров родился 19 марта 1985 года в г. Горьком (ныне — Нижний Новгород).
В 2006 году окончил Нижегородское театральное училище им. Е. А. Евстигнеева, актёрский факультет (курс Р. Я. Левите), в 2009 году — Школу-студию МХАТ (курс К. А. Райкина).
С 2009 года актёр Московского художественного театра им. А. П. Чехова. Преподаватель кафедры актёрского мастерства в Высшей школе сценических искусств (театральная школа Константина Райкина).Женат на актрисе МХТ Ксении Тепловой у пары есть дочь — Быстрова Мария Артёмовна (24.08.2015).