Старший сын академика архитектуры М. Д. Быковского родился в Москве 24 ноября (6 декабря) 1834 года.Образование получил в Московском училище живописи, ваяния и зодчества; учился у М. И. Скотти; за одну из своих ученических работ получил малую серебряную медаль.
В 1857 году за «Портрет старика» получил звание свободного художника.Некоторое время посещал классы Академии художеств, затем уехал в Италию, — к своему учителю. Живя и работая в Италии, свои работы Н. М. Быковский высылал в Петербург, в Академию художеств и в 1864 году за картину «Маргарита в церкви» был удостоен звания классного художника 3-й степени, а в 1867 за картину «Сцена из семейного быта музыканта XVIII века» ему было присвоено звание академика.Его работы редко представлялись в России; в 1872 года картина «Сцена из семейного быта» была представлена на II Выставке Товарищества передвижных художественных выставок, а в 1882 году, кроме этой картины, на всероссийской выставке в Москве он был представлен ещё и картиной «Вдова» .Умер в Москве, в 1917 году.