Алексей Бычков родился 11 (23) июля 1884 года в станице Оренбургская одноименной губернии на территории первого военного отдела Оренбургского казачьего войска в семье генерала Георгия Алексеевича Бычкова. Окончил Оренбургский Неплюевский кадетский корпус, после чего, в конце августа 1903 года поступил в Елисаветградское кавалерийское училище, из которого был выпущен 22 апреля 1905 года по первому разряду корнетом в 8-й драгунский Смоленский полк.
В сентябре 1908 года Бычков получил чин поручика.
В Первую Мировую войну, в декабре 1915 года, был ранен и находился на излечении в Петрограде.
До 1917 года имел чины штабс-ротмистра, а затем ротмистра.
До звания войскового старшины, причём за боевые заслуги, Алексей Георгиевич дослужился уже после двух революций — в 1918 году (со старшинством с 1916); стал полковником, с утверждением в занимаемой должности командира полка, в сентябре того же года.А. Бычков в 1915 годуВ 1917 году Алексей Георгиевич вернулся в Оренбургское войско и принял участие в борьбе с большевиками: возглавил 3-й Оренбургский казачий дивизион, образованный в июне 1918 года на базе отдельного артиллерийского взвода, ранее сформированного в посёлке Сосновский.
Он был переведён в комплект конных полков «с переименованием из ротмистра в есаулы» и оставлением в занимаемой должности командира Оренбургского 19-го казачьего полка.
С конца мая 1919 года А. Бычков командовал Иркутским казачьим полком: в этот период он отступил со своим подразделением в Забайкалье. Здесь он принял под своё командование новую часть — 1-й конный имени атамана Семенова полк, переформированный затем, уже в Приморье, в Сводно-казацкий.После окончания активной фазы Гражданской войны Алексей Бычков оказался в эмиграции в Китае (Харбин).
В 1927 году он возглавил отдельный кавалерийский дивизион дивизии генерала К. П. Нечаева. По возвращении в Харбин, Бычков вступил в железнодорожную полицию; в 1937 году он являлся секретарем синьцзянского отделения Бюро по делам российских эмигрантов в Маньчжурской Империи (БРЭМ).
В 1936 году Алексей Георгиевич Бычков входил Оренбургское казачье объединении в Харбине. Скончался от туберкулеза легких в больнице доктора Н. П. Голубева; был похоронен на харбинском Новом кладбище.