Среднее специальное образование получил в Бежецком педагогическом училище. По распределению работал директором неполной средней школы в селе Константиновка, Хабаровский край, с августа 1939 года по июль 1941 года. Без отрыва от работы в 1942 году окончил исторический факультет Хабаровского учительского института.Во время Великой Отечественной войны был направлен во Владивосток на курсы политработников. После обучения служил заместителем политрука танковой роты, принимал участие в составе ударного батальона в войне с Японией.
В 1952 году окончил факультет политэкономии Ленинградского высшего военно-педагогического института им. М. И. Калинина, получил диплом с отличием. Кандидат экономических наук (1955), тема диссертации «Колхозная собственность в СССР, её возникновение и развитие» , выполнена в Ленинградском высшем военно-педагогическом институте им. М. И. Калинина. Преподавал в том же институте, в 1956 году был уволен в запас в звании майора.
С 1957 года — доцент кафедры политэкономии Томского государственного университета (ТГУ), заведующий кафедрой — с 30 марта 1966 года.
В 1966 году защитил диссертацию на соискание учёной степени доктора экономических наук, тема диссертации «Экономические связи колхозов с социалистическим государством и развитие отношений собственности» . Руководил кафедрой до 1991 года, затем — профессор кафедры.
С 23 февраля 1967 года по 1 августа 1983 года — ректор ТГУ. При А. П. Бычкове — ректоре ТГУ были построены новое здание научной библиотеки, корпуса для НИИ ПММ, НИИ биологии и биофизики, спортивный комплекс и стадион, Культурный центр ТГУ, тропическая оранжерея Сибирского ботанического сада, столовые, общежития, многоквартирные жилые дома, детский сад, открыты санаторий-профилакторий и спортивно-оздоровительный лагерь на реке Обь. При его участии открыт факультет прикладной математики и кибернетики и Вычислительный центр.Научные интересыОтношения собственности, вопросы построения коммунизма, создание материально-технической базы коммунизма в сельском хозяйстве, преодоление различий между городом и деревней, производственные отношения в советской экономике, социалистическая система сельского хозяйства, управление социалистическим производством как экономический процесс, экономические основы федерализма в России, закономерности развития аграрного сектора, изменение отношения труда и капитала в современной экономике, проблема становления и развития российской экономики. Первым в СССР рассмотрел весь комплекс экономических отношений и проанализировал ценообразование на колхозную продукцию и поставляемые колхозам государством средства производства.Автор более 140 научных работ. Подготовил более 50 кандидатов наук, 35 из которых защитили докторские диссертации.
С 1970 года член учёного совета Сибирского отделения Академии наук СССР.