Мгрдич Бешигташлян родился в 1828 году в пригороде Константинополя Ортагюх, в семье портного. Начальное образование получил в армянской католической семинарии Константинополя.
В 1839 году его отправляют в Падую (Италия), в школу венецианских мхитаристов. Завершив учёбу в 1845 году, Бешигташлян возвращается в Константинополь, где приступает к активной педагогической, общественной, литературной и театральной деятельности.
В школах столицы он преподаёт армянский и французский языки. Бешигташлян — один из основателей Общенационального общества (1846—1852), способствовавшего распространению армянского просвещения в населённых армянами районах Малой Азии, издававшего произведения армянских и европейских авторов и т. д. Бешигташлян принимал участие и в работе других обществ, которые вели борьбу против турецкого ига, оказывали помощь участникам Зейтунского восстания 1862 года.
В 1856 году Бешигташлян основывает в Константинополе армянский национальный театр.
Он переводил для театра пьесы европейских авторов, выступал как режиссёр и актёр.
В 1856—1858 годах он написал исторические трагедии «Корнак» , «Аршак II» , которые ставились на сцене основанного им театра. Его перу принадлежат также трагедии «Ваган» и «Ваге» и несколько комедий. Бешигташлян способствовал и развитию армянского музыкального искусства, сочиняя музыку к спектаклям, а также на свои стихи и стихи Гевонда Алишана.
Он поддерживал творческие связи с выдающимся армянским композитором Тиграном Чухаджяном.Стихи Бешигташлян начал писать со второй половины 40-х годов, публикуя их в западноармянской периодике. Первый сборник его стихотворений и драматических произведений вышел в свет в Константинополе в 1870 году под названием «Сочинения» .Скончался Бешигташлян 29 ноября 1868 года в Стамбуле.