Воспитанник обнинской футбольной школы, ученик Юрия Алексеевича Шуванова.Карьеру начал в 1987 году во второй команде московского «Динамо» , выступавшей во Второй лиге первенства СССР, за которую за четыре сезона провёл 100 матчей.
В составе главной команды сыграл одну игру на Кубок Федерации в 1989 году.Сезон-1991 провёл в первой лиге за сухумское «Динамо» . Следующий год начал выступлениями в чемпионате Украины в составе «Буковины» Черновцы, в середине сезона перешёл в новороссийский «Черноморец» , за который играл до окончания карьеры в 1999 году.Накануне сезона-1998 в спарринг-матче в станице Баранниковской Березнер получил травму стопы. Последствия травмы, перевод из нападения в полузащиту, связанное с этим уменьшение количества голов, отставка Олега Долматова привели по окончании сезона 1999 года к отчислению Березнера из команды с формулировкой «за разложение коллектива» .После «Черноморца» были варианты продолжения карьеры в «Амкаре» и «Анжи» . Перед началом сезона 2000 года был близок к подписанию контракта с ЦСКА, который тренировал Долматов, однако руководство клуба решило не брать его в команду, и Березнер принял решение закончить с футболом.По собственным словам, в течение карьеры злоупотреблял алкоголем.Ещё будучи игроком, владел вместе с отцом в Обнинске тремя аптеками. После окончания футбольной карьеры вернулся в родной город, где стал председателем городской Федерации футбола и депутатом Обнинского городского Собрания в комитете по бюджету, финансам и налогам.