Родилась в семье советского шахматиста, мастера спорта СССР Сергея Белавенца.Отец погиб на фронте в 1942 году, когда Людмиле ещё не исполнилось двух лет, но шахматная атмосфера, царившая в доме, несмотря на то, что отца уже не было в живых, предопределила увлечение шахматами юной Людмилы Белавенец.
В 12 лет была принята в шахматную секцию Москворецкого Дома пионеров.
В 15 лет выполнила первый разряд и попала на женский чемпионат Москвы, а уже через четыре года дебютировала в женском чемпионате СССР. Дебют был довольно удачным, а самого большого успеха в этих соревнованиях Людмила Белавенец добилась в 1975 году — ей удалось стать чемпионкой СССР.
Но самые значительные спортивные достижения Людмилы Белавенец связаны с игрой по переписке — ещё в 1965 году она была участницей первого личного женского чемпионата мира, а в 1990 году стала чемпионкой мира по заочным шахматам. Также в составе сборной СССР трижды становилась победительницей Олимпиад в игре по переписке.
В 1973 году по приглашению тренера Владимира Юркова начала работать в московском учебно-спортивном центре «Юные пионеры» . Впоследствии много лет работала тренером в шахматном клубе «Спартак» имени Т.В.Петросяна. Среди юных воспитанников Людмилы Белавенец можно выделить таких будущих гроссмейстеров, как Александр Морозевич, Алексей Выжманавин и Андрей Соколов.Начиная с 1974 года много лет была ведущей телепрограммы «Шахматная школа» .По профессии преподаватель математики. Окончила физико-математический факультет педагогического института.
В настоящее время работает тренером по шахматам СШОР «Юность Москвы» , расположенной в клубе имени Т.В.Петросяна.