Милан Бегович родился в городе Врлика на территории современной Хорватии, получил образование в Сплите, где закончил в 1894 году среднюю школу, затем окончил университет в Загребе (учился там в 1894 — 1896 годах), а в 1897 — 1903 годах учился Вене, где изучал славянские и романские языки. После этого он некоторое время был директором школ в Сплите и Задаре, затем в 1909 году уехал Гамбург, где стал драматургом театра Deutsches Schauspielhaus (с 1910 года на постоянной основе).
В 1912 году переехал в Вену, где работал театральным режиссёром и драматургом в Neuen Wiener Buhne, в 1913 году перешёл на ту же должность в Srpsko narodno pozoristeв Нови-Саде. Во время Первой мировой войны он жил в Вене, в 1920 году переехал в Загреб, где прожил до конца жизни, но совершал частые поездки по Европе.
В 1927 году он стал директором местного театра драмы, в 1929 году стал директором средней школы и в 1932 году ушёл в отставку.
С 1936 года он был членом-корреспондентом Академии наук королевства Югославия.
В 1942 - 1945 годах Бегович редактировал издание Hrvatska proza XX. stoljeca, представлявшее собой антологию произведений современных писателей Хорватии.
С установлением в Югославии и Хорватии власти Тито в 1945 году, т. н. "суд чести" Общества писателей Хорватии обвинил Беговича в сотрудничестве с правительством усташей. Маститый литератор был лишён гражданских прав. Бегович умер в 1948 году, и из-за его отношений с коммунистическими властями, по смерти ему не было оказано никаких почестей, а о самой его смерти даже не было объявлено.
Он был похоронен на кладбище Мирогой.Наследие Беговича включает рассказы и романы, но более всего он известен как автор популярных пьес, написанных им в 1920-е — 1930-е годы, самыми популярными из которых были Pustolov pred vratima и комедия Amerikanska jahta u splitskoj luci.
Он также писал песни для известной хорватской оперы Ero s onoga svijeta. Некоторые свои произведения публиковал под псевдонимами: Xeres de la Maraja, Tugomir Cetinski, Stanko Dusic, Esop s Grica, Hipolit, Malvolio и Petronius.