Альфонсас Баужинскас окончил Клайпедскую консерваторию по классу валторны Э. Каутского в 1930 году.
С 1930 по 1968 год он был солистом оркестра Литовского театра оперы и балета. Занимался также камерной музыкой, в том числе сотрудничал со струнным квартетом Литовской филармонии.
С 1934 года Баужинскас преподавал в Вильнюсской консерватории.
В 1954 году ему было присвоено звание заслуженный артист Литовской ССР.
В 1968 году он стал доцентом Вюльнюсской консерватории.Примечания Vaclovas Juodpusis. Lietuvos kvartetas // Visuotine lietuviu enciklopedija. — V.: Mokslo ir enciklopediju leidybos institutas, 2008. — Т. XIII (Leo-Magazyn). — С. 257. (лит.)