Родился в еврейской слободе Нагартав (ныне пгт Березнеговатое Николаевской области Украины) в семье школьного инспектора, как сам отмечал, «в православной вере» . Окончил Херсонскую гимназию.Учился в Петербургском, Киевском и Новороссийском (Одесском) университетах, где основным интересом его было право и классическая филология.
В 1914 году от Одесского университета уехал в научную командировку в Западную Европу. Во время пребывания Борщака в Гааге началась Первая мировая война. При попытке вернуться домой его схватили немцы и интернировали в Касселе. Благодаря обмену между Германией и Россией, Борщак, переехав через Норвегию, вернулся в Российскую империю. Там его сразу отправили на фронт в Восточную Пруссию. Получив ранение в битве под Танненбергом, лежал в госпитале в Каунасе. После выздоровления — обучение в артиллерийском училище в Одессе, австрийский и румынский фронт.
В июне 1918 года Борщак перебирается в Киев в период существования Украинского государства, возглавляемой гетманом Скоропадским, который опирался на поддержку немцев. Женился на немке Софии фон дер Лявниц, переводчице произведений Шевченко с французского языка.
В августе его арестовали немцы и он три месяца отбыл в тюрьме. После падения Гетманата принимает из рук немецкого генерала большой склад боеприпасов для нужд армии Украинской Народной Республики.
В январе 1919 года переходит на дипломатическую службу.
В составе миссии УНР выезжает в США, позже выполняет функцию секретаря украинской делегации на Парижской мирной конференции 1919—1920 годов.
В Париже он и остался на всю оставшуюся жизнь.
Он ушел в архивные и библиотечные поиски в разных городах Франции, Лондоне, Вене, Лейдене, Упсале, Стокгольме и других городах Европы. Сферами его научного интереса были история Украины, её культуры, дипломатии, общественно-политических движений различных периодов в контексте связей с Европой.Масон, с начала 1920-х член парижской ложи Братство народов.Член Комитета действий, в 1923—1932 годах — соучредитель и член Союза украинских граждан во Франции (СУГУФ), руководитель кружка украиноведения и издатель еженедельника СУГУФ — «Украинские вести» (1926—1929); член Лиги украинской культуры (1923), организатор Общества друзей украинского кино (1926—1927), сотрудник ВУАН (Киев).
В этот период печатал свои работы также и в журналах советской Украины, встречался в Париже с её культурными деятелями (М. Бойчуком, В. Седляром, А. Таран, М. Волновым и другими). Сталинский террор прервал эти контакты, переориентировав Илью Львовича до полного неприятия советского режима на Украине.
С 1931 года Борщак предпринимал меры с целью преподавания украинского языка, украиноведения в Сорбонне, что ему не удалось. Только в 1938 году его замысел был реализован в Национальной школе живых восточных языков в Париже (1938—1957), где он получил постоянную работу как основатель кафедры украиноведения. Издал во Франции первый учебник украинского языка (1946).Во время Второй мировой войны в годы гитлеровской оккупации Франции, Борщак был заключён в тюрьму Sante за участие в движении Сопротивления, где провел восемь месяцев до освобождения в апреле 1941 года — немцы планировали сделать его ректором Киевского университета, который так и не открыли во время оккупации Киева. Постоянно находился под наблюдением гестапо, скрывался. После ареста в феврале 1943 года (как сотрудника прессы движения Сопротивления, организатора украинской антинемецкой организации) и последующего освобождения перешел на нелегальное положение. После окончания войны попытался вернуться на Украину, получил советское гражданство и паспорт.
И тревожные вести из Украины о продлении террора спасли его от этого шага и он отказался от гражданства и возвращения на Родину.
С 1949 года — директор Архива украинской эмиграции во Франции, издатель научного журнала «Украина» (1943—1953). Благодаря усилиям И. Л. Борщака в Париже в 1947 году был опубликован «Кобзарь» Т. Г. Шевченко. Предисловие и примечания к нему написал сам Борщак.Весной 1958 года Борщака разбил паралич. 11 октября 1959 года он скончался в Париже.Постановлением городского головы Херсона № 80 p от 19.02.2016 улица Артёма была переименована в улицу «Ілька Борщака» . Также в честь Ильи Львовича названы улицы в Николаеве и пгт Березнеговатое.