Александр Сергеевич Барков родился 13 мая 1873 года в семье крестьянина, отставного унтер-офицера Сергея Игнатьевича Баркова в селе Покровском Епифанского уезда Тульской губернии.Окончил земское училище в 1882 году, три года учился в Епифанском уездном училище, затем с 1886 по 1894 год — в Тульской гимназии, которую окончил с отличием.
В 1894—1898 годах учился на отделении естественных наук физико-математического факультета Московского университета, которое окончил с золотой медалью и дипломом I степени. Был учеником профессора Д. Н. Анучина.
С 1899 года начал преподавательскую деятельность.Один из первых преподавателей Московского промышленного училища памяти 25-летия царствования императора Александра II.
В 1911 году был назначен директором мужской гимназии А. Е. Флёрова, впоследствии — школы № 110, в которой проработал до 1925 года.
С 1920 года одновременно заведовал школьным подотделом в Московском отделе народного образования (МОНО).
В 1935 году получил степень доктора географических наук.
В 1944 году избран действительным членом Академии педагогических наук РСФСР.
В июле 1945 года А. С. Баркову присвоено звание Заслуженного деятеля науки РСФСР.Награждён орденом Ленина и орденом Трудового Красного Знамени.Жена — Гали Евгеньевна Ивакинская (1887—1960), урожденная Кламмер, актриса Московского детского театра.
В 1920-х годах участвовала в «рыцарском» кружке «Орден Духа» , с 1924 — «Орден Света» , примыкавшем к масонам.
На заседаниях кружка присутствовал и А. С. Барков.
В 1930 году кружок попал в поле зрения НКВД и был разогнан, некоторые члены осуждены.Могила Баркова на Новодевичьем кладбище Москвы.А. С. Барков скончался 28 декабря 1953 года в Москве. Смерть застала его за переработкой к новому, третьему изданию «Словаря-справочника по физической географии» (вышел посмертно в 1954, а затем ещё раз в 1958). Похоронен на Новодевичьем кладбище.