Учился в ленинградской школе № 147 вместе с будущими соратниками по группе — Михаилом Горшенёвым и Александром Щиголевым.
В 1988 году они втроём основали группу под названием «Контора» . Позже группа стала называться «Король и Шут» и к постоянному составу присоединился Андрей «Князь» Князев. Изначально, и до 1996 года Александр Балунов играл на гитаре, а в 1993—1995 годах исполнял роль второго вокалиста, так как Андрей Князев был в армии. Александра также забрали в армию, но всего на несколько недель. После выступления группы на фестивале «Наполним небо добротой» 23 июня 1996 года из «Короля и Шута» уходит бас-гитарист Григорий Кузьмин.
С тех пор и до 2006 года Александр Балунов играл в группе на бас-гитаре.
В 2003 году вместе с Михаилом Горшенёвым, Андреем Князевым, Яковом Цвиркуновым и Александром Леонтьевым принял участие в рамках проекта «Рок-группа» в песне «Попса» .31 января 2006 года, проиграв в группе 18 лет, ушёл в бессрочный отпуск. Вернувшись через две недели, проиграл с группой два дня и принял окончательное решение об уходе.
С тех пор живёт в США, занимается творческой деятельностью.
В 2006 году выступил с группой в качестве бас-гитариста на их американских гастролях.
В 2008 году помог записать Михаилу Горшенёву песню «Don"t crucify me» совместно с калифорнийской группой Red Elvises.
Он «частенько ходит на концерты группы, в „Лужники“ придет.
И на репетиционную точку заходит, даже попоет там вместе с нами, как в былые времена» .
В 2012 году записал трибьют на хит 70-х годов «Ты мне веришь» (музыка-Алексей Рыбников, слова-А.Кохановский).
В 2013 году создал в Америке проект «Балу и Боцман» .
В 2014 году Александр Балунов вместе с Андреем Князевым организовали группу архивов и раритетов «Король и Шут» , в которой присутствуют в том числе и раритетные записи с альбома «Ересь» , а также другие ранее не изданные записи «Король и Шут» . Над реставрацией материалов работает сам Александр совместно с калифорнийской студией звукозаписи.
В 2015 году Александр Балунов выпустил сингл «Как Звезда» вместе с калифорнийской группой Red Elvises, состоящий из трёх песен.
В августе 2016 года в издательстве АСТ вышла книга Александра Балунова под названием «Король и Шут. Между Купчино и Ржевкой» .19 марта 2017 года вышел дебютный студийный альбом Александра Балунова «Песни о любви и дружбе» . Релиз осуществила компания «Союз мьюзик» В июне 2017 года в издательстве АСТ вышла книга Александра Балунова под названием «Король и Шут. Бесконечная история» В мае 2018 года вышел макси-сингл Александра Балунова и Андрея Князева «Князь и Балу. Детские Песни для взрослых»