Байда-Суховий родился 8 ноября 1882 года на Полтавщине в семье рабочего. Через несколько лет после его рождения семья переехала в Харьков, где его отец работал литейщиком на заводе, а мать — поварихой в больнице профессора Тринклера. Дмитрий работал на заводе подручным, мечтая стать актёром.
В 1895 году был приглашён в труппу Марии Заньковецкой, сначала в качестве танцора и солиста-бандуриста. Сценическую деятельность начал в 1899 году, играл в труппах Николая Садовского, Анисима Суслова, Дмитрия Гайдамаки, Льва Сабинина.
В начале XX века имел собственную труппу.
В конце 1900-х заключил договоры о сотрудничестве с организаторами кинопромышленности Александром Дранковым и Александром Ханжонковым, по которым участвовал в съёмках и показах кинофильмов на Украине и Кубани.
В 1910—1916 годах одним из первых на Украине снимал театральные постановки. Как режиссёр-постановщик снял фильмы по популярным тогдашним представлениям. Во всех своих фильмах он выступал также как актёр, в частности, в комедии «Кума Хвеська» он играл как мужские, так и женские роли. Немые фильмы озвучивались актёрами, которые за экраном дублировали сами себя, а также музыкой, в частности игрой на бандуре самого Байды-Суховия.Во время Первой мировой войны переехал в Петербург, где вместе с отцом работал на Путиловском заводе, выполняя военные заказы.
С 1917 года служил в народной милиции Петрограда.
В 1920 году Дмитрия Байду-Суховия пригласили в Геленджик, где он создал народный театр. Основой труппы театра были актёры, которые во время революции остались в Геленджике, молодые комсомольцы и старые актёры-любители. Параллельно он обучал местную молодёжь театральному делу. Впоследствии в театре создал мастерскую декораций и костюмов.
В Геленджике Байда-Суховий женился на представительнице местной семьи творческой интеллигенции Неклюдових, Фаине Квитке.
В конце 1920-х выступал дуэтом с Досенко-Журбою.
В 1930-е играл в харьковских театрах, гастролировал с украинскими мелодрамами и лирическими комедиями. Во время Второй мировой войны снова создал в Геленджике театр, который действовал с 1941 года до разрушения немецкими войсками в 1942 году.
С 1950-х жил на пенсии в Геленджике, периодически принимал участие в праздничных концертах, постановках и творческих вечерах, поездках агитбригады.
В этом же городе он и умер в 1974 году.