Могила Бабаева на Армянском кладбище Москвы.Андрей Бабаев родился 27 декабря 1923 года в селе Мсмна Мартунинского района Нагорно-Карабахской автономной области Азербайджанской ССР, в армянской семье. Начальное музыкальное образование получил в Шуше.
В 1950 г. окончил Бакинскую консерваторию по классу композиции Кара Караева.
В 1953 г. окончил аспирантуру Московской консерватории (руководитель Юрий Шапорин).
В 1939—1941 гг. работал помощником дирижёра оркестра азербайджанских народных инструментов Азербайджанского радио.
В 1941—1945 гг. был художественным руководителем Ансамбля песни и пляски Бакинского гарнизона, в 1946—1947 гг. — руководителем Ансамбля Бакинской филармонии, 1947—1950 гг. — хормейстером Ансамбля песни и пляски той же филармонии.
С 1950 года жил и работал в Москве.Умер 21 октября 1964 года. Похоронен на Армянском кладбище в Москве.