Мемориальная доска на Бундесаллее, 19 (берлинский район Вильмерсдорф)Был сыном торговца Элькана Баба и его жены Фанни, урожденной Херрман. Учился в берлинской Асканийской гимназии, где, в частности, познакомился с будущим писателем Генрихом Эдуардом Якобом.
В 1902—1905 годах Баб изучал в Берлине и Цюрихе германистику, философию и историю.
В 1905—1913 годах был одним из основных сотрудников своего близкого друга, журналиста и театрального критика Зигфрида Якобсона, издававшего журнал Schaubuhne (позднее — Die Weltbuhne), а также сотрудничал как писатель, драматург и театральный критик и с другими берлинскими изданиями. Был тесно связан с берлинским театром «Фольксбюне» , в 1923—1932 годах издавал «Драматургические листки» этого театра. Преподавал в театральной школе Макса Рейнхардта.
В 1933 году после прихода нацистов к власти все книги Баба были включены в список книг, подлежащих сожжению. Вскоре он стал одним из основателей Культурного союза германских евреев, и вплоть до его роспуска в 1938 году руководил отделом постановок и тесно сотрудничал с отделом драматургии.
В том же году иммигрировал через Францию в США.
В 1951 году побывал в Германии в рамках лекционного турне.Был женат на Элизабет Лоос (1878—1963); у супругов родилось трое детей: Бьорн, Урсула и Барбара.