Родился 5 июня 1986 году в Грозном.
В 1995 году в результате военных действий в Чечне дом семьи Азуевых был разрушен. Им пришлось покинуть республику и выехать в Испанию. Они приобрели квартиру в Коста-Бланка.
В 9 лет отец записал Магомеда в секцию Кёкусинкай, поскольку она располагалась рядом с домом. Четырежды Магомед становился чемпионом Испании среди юниоров.
Но в 2003 году его первый тренер скончался и Азуев перешёл к тренеру по кикбоксингу, который вёл занятия в том же клубе. Четырежды становился чемпионом Испании по кикбоксингу.
В 2005-2008 годах становился чемпионом Европы по кикбоксингу по версии К-1.
В 2009-2010 годах выигрывал Интерконтинентальный турнир, который приравнивается к чемпионату мира.
В 2011 году перешёл в профессиональный бокс. Считается российским спортсменом, но поскольку живёт и тренируется в Испании, то выступает под флагом этой страны. При этом на бои всегда приносит и флаг Чеченской Республики.
На август 2014 года провёл шесть боёв, в пяти победил.РезультатСоперникМетодДатаРаундПобедаGabriel JaszaiТехнический нокаут4 апреля 20142ПоражениеIvo AndelicРешение судей19 октября 20136ПобедаAleksandrs SelezensРешение судей6 июля 20134ПобедаViorel BoltocТехнический нокаут12 апреля 20131ПобедаGabor FarkasРешение судей15 февраля 20134ПобедаCatalin StanТехнический нокаут14 декабря 20121