Анвар Азимов родился 22 ноября 1950 года в столице Узбекской ССР — Ташкенте.
В 1973 году окончил МГИМО МИД СССР.
На дипломатической работе с 1973 года.1994—1998 гг. — советник-посланник Посольства России в Индии.1998—2000 гг. — заместитель директора Третьего департамента Азии МИД России.2000—2002 гг. — советник-посланник Посольства России в Югославии — представитель России в аппарате Высокого представителя в Боснии и Герцеговине.2003—2005 гг. — заместитель директора Департамента общеевропейского сотрудничества МИД России.10 октября 2005 — 31 июля 2008 года — Чрезвычайный и полномочный посол Российской Федерации в Замбии.31 июля 2008 — 7 июня 2011 года — Постоянный Представитель Российской Федерации при Организации по безопасности и сотрудничеству в Европе (ОБСЕ) в Вене (Австрия).2011—2015 гг. — посол по особым поручениям МИД России.
С 30 июня 2015 года — Чрезвычайный и полномочный посол Российской Федерации в Хорватии.
В марте 2017 года глава Сбербанка Герман Греф заявил в связи с ситуацией в хорватской компании Agrokor, что Сбербанк обратился в Министерство иностранных дел России за разъяснением комментариев российского посла в Хорватии относительно взаимоотношений Сбербанка с компанией Agrokor: «Посол вышел за пределы своей компетенции и, конечно, создал некоторые сложности для компании, потому что это вызвало серьезные колебания на рынке» .