Д. И. Азбукин родился в семье помощника смотрителя 2-го Орловского духовного училища.Окончил медицинский факультет Московского университета.
В 1905 году участвовал в Москве в революционных событиях.
В 1907 году был арестован за участие в этих событиях. Во время Первой мировой войны служил военным врачом психиатром в Москве а затем главным врачом неврологического госпиталя в Ровно. Был членом Общества борьбы с алкоголизмом в Москве; им был составлен «Каталог передвижных противоалкогольных выставок Общества» (М.: т-во тип. А. И. Мамонтова, . — 31 с.); он автор статьи «Народные предрассудки и научная правда о спиртных напитках» .
В 1919 году избран профессором кафедры психиатрии Уральского университета.
В 1922 году в Москве получил степень доктора медицины.
В 1924 году преподавал в Институте педологии и дефектологии.
С 1925 года работал на педагогическом факультете 2-го МГУ (ныне МПГУ) в качестве заведующего дефектологическим отделением. Получил звание профессора лечебной педагогики.
В 1931 году стал деканом дефектологического факультета и заведующим кафедрой психопатологии Московского государственного педагогического института А. С. Бубнова.По воспоминаниям известного учёного А. Г. Спиркина при работе с больными Д. И. Азбукин использовал гипноз: .mw-parser-output .ts-Начало_цитаты-quote{float: none;padding: 0.25em 1em;border: thin solid #eaecf0}.mw-parser-output .ts-Начало_цитаты-source{margin: 1em 0 0 5%;font-size: 105%}.mw-parser-output .ts-Начало_цитаты-quote .ts-oq{margin: 0 -1em -0.25em}.mw-parser-output .ts-Начало_цитаты-quote .ts-oq .NavFrame{padding: 0}.mw-parser-output .ts-Начало_цитаты-quote .ts-oq .NavHead,.mw-parser-output .ts-Начало_цитаты-quote .ts-oq .NavContent{padding-left: 1.052632em;padding-right: 1.052632em}Психиатрию я проходил у Дмитрия Ивановича Азбукина.
Он занимался гипнозом: усыплял, внушал, лечил. Я помню, как приходили к нему люди, заколдованные в деревнях.
Он их из этого состояния выводил..mw-parser-output .ts-Конец_цитаты-source{margin: 0.357143em 2em 0 0;text-align: right}— Ровесник Советской властиМогила Азбукина на Ваганьковском кладбище Москвы.
В 1936 году Д. И. Азбукину была присуждена учёная степень доктора педагогических наук.
С 1944 года он заведовал отделом теории и истории олигофренопедагогики Научно-исследовательского института дефектологии, работал заместителем директора института.
В 1947—1951 гг. был директором института.
В 1945 году Д. И. Азбукин был избран членом-корреспондентом АПН РСФСР.Похоронен на Ваганьковском кладбище.