Эдуард Азарян начал заниматься спортивной гимнастикой в раннем детстве под руководством своего отца — трёхкратного олимпийского чемпиона Альберта Азаряна.
В 1978 году Эдуард Азарян стал чемпионом СССР в командном многоборье и вошёл в состав сборной СССР.
В этом же году стал бронзовым призёром Кубка мира в личном многоборье и серебряным призёром чемпионата мира в командном первенстве.
В 1980 году на Олимпийских играх в Москве Э. Азарян в составе сборной СССР завоевал титул олимпийского чемпиона в командном первенстве.
С 1992 года живёт в США. Занимается тренерской деятельностью в созданном им гимнастическом центре в Алисо Виехо (Калифорния).Примечания По другим данным 4 или 9 ноября[источник не указан 1172 дня]