Рауф Атакишиев родился 15 июля 1925 года в городе Геокчай Азербайджанской ССР.
В 1943 году поступил в Азербайджанскую государственную консерваторию.
С 1946 года учился в Московской государственной консерватории по классу фортепиано у К. К. Игумнова и по классу вокала у А. В. Неждановой.
В 1952 году, окончив аспирантуру, вернулся в Баку, начал выступать как пианист и певец-солист Театра оперы и балета.
С 1953 года начал преподавать в Азербайджанской государственной консерватории.
С 1969 года заведовал кафедрой специального фортепиано.
В 1967 году Р. И. Атакишиеву присваивают звание Народного артиста Азербайджанской ССР.
В 1972 году ему присвоено учёное звание профессора Азербайджанской государственной консерватории. Р. Атакишиев награждён Юбилейной Ленинской медалью, Орденом Дружбы народов, Почётными грамотами Президиума Верховного Совета Азербайджанской ССР и Молдавской ССР. Рауф Атакишиев умер 3 февраля 1994 года.