Родился в Бруклине в семье еврейских иммигрантов из Российской империи. Его отец Борис Азеринский (1889—1974), эмигрировавший в США из Самары в возрасте двадцати лет, был дантистом, чья привязанность к азартным играм привела к семейным конфликтам и хронической бедности. Дед будущего учёного, книгоиздатель Лейб Азеринский, был владельцем типографии Л. М. Азеринского по ул. Дворянской, 94, в Самаре.
В семье пользовались идишем и русским языком. Когда ему было 12 лет умерла его мать, Соня Азеринская (1887—1933).После окончания Бруклинского колледжа, поступил в Университет Мэриленда на подготовительную медицинскую программу (premed), но не окончил учёбу. Работал бухгалтером, социальным работником, в годы Второй мировой войны служил на европейском фронте подносчиком снарядов, хотя был слеп на один глаз.
В 1950 году, будучи студентом Чикагского университета, поступил в сомнографическую лабораторию к Натаниэлу Клейтману, на тот момент самому известному исследователю физиологии сна в стране (the father of sleep research).