Родился в Киеве 26 декабря 1917 года.Дядей Ю. С. Асеева по матери был Дмитрий Михайлович Дяченко — известный украинский зодчий; дядей по отцовской линии — русский поэт Николай Николаевич АсеевУчился в 1-й киевской трудовой школе им. Т.Шевченко.
В 1935 закончил Киевский инженерно-строительный техникум.
С 1934 по 1941 учился на архитектурном факультете Киевского инженерно-строительного института, является учеником И. Каракиса.Во время Великой Отечественной войны помогал изготавливать документы для партизан и жителей Киева, необходимых для спасения от преследования нацистами.1943-45 гг. под руководством П. Д. Барановского проводил обследования и фиксацию поврежденных в годы войны памятников древнерусского зодчества на территории Украины.1944—1964 — научный сотрудник Академии архитектуры УССР.Круг научных интересов — история архитектуры, искусствоведение, реставрация и охрана памятников архитектуры, популяризация их.
В Киевском государственном художественном институте с 1953 по 1999 гг. преподавал курс истории архитектуры.Возглавлял кафедры теории и истории искусства (1964—1966); теории, истории архитектуры и синтеза искусств (1966—1993).Был проректором по научной работе (1976—1979), с 1973 — профессор.Ю. С. Асеев внес существенный вклад в изучение и реставрацию древнерусских архитектурных памятников.Автор более 20-ти научных реконструкций памятников архитектуры Киевской Руси, в частности: Десятинная церковь, Софийский собор, Кирилловская церковь, церковь Богородицы Пирогощи (все — в Киеве), Спасо-Преображенского собора в Чернигове, древнерусских соборов в Каневе и Белгороде.Ю. С. Асеев состоял действительным членом Всемирной организации охраны памятников, был почётным членом Украинской академии архитектуры (1992), доктором архитектуры (1972), заслуженным архитектором Украины (1991), лауреатом Государственной премии Украины в области науки и техники (1971), членом Союза архитекторов, членом комиссии по воссозданию выдающихся памятников истории и культуры при Президенте Украины (1995).Похоронен на Байковом кладбище в Киеве.