Родился в семье капитана швейцарской службы Пьера Коломба Артари и до 1891 года был швейцарским подданным.
В 1869—1874 годах учился в частном реальном училище; в 1879 году выдержал экзамен на учителя математики уездного училища; в 1880 году поступил вольнослушателем на естественное отделение физико-математического факультета Московского университета, где специализировался по ботанике под руководством профессора И. Н. Горожанкина, оставив заметный вклад в истории Гербария московского университета.
В 1891 и 1892 году занимался в Базельском университете (Швейцария), где работал под руководством профессора Г. Клебса и летом 1892 года получил степень доктора философии, защитив работу «Исследование по вопросу о развитии и систематике протококков» . Кроме того, работал у В. Пфеффера в Лейпциге.
В декабре 1892 года вернулся в Москву и до февраля 1894 года исполнял должность хранителя гербария Московского университета. Одновременно, с августа 1893 года, Артари преподавал в Александровском коммерческом училище.
В декабре 1893 года он успешно сдал экзамен на степень магистра ботаники и после прочтения пробных лекций получил звание приват-доцента ботаники Московского университета, где до августа 1909 года читал курсы и вёл практические занятия по микологии и микробиологии.
В конце 1895 года избран преподавателем анатомии и физиологии растений в Московском высшем техническом училище, в котором проработал до самой смерти (с перерывом в августе—октябре 1909 года, когда исполнял должность экстраординарного профессора ботаники в Новороссийском университете)), сначала состоя преподавателем и заведующим кафедрой ботаники и, наконец, с июля 1917 года — экстраординарным профессором.
В 1910 году Артари возобновил преподавание в московском университете в качестве приват-доцента.
В апреле 1914 года в Санкт-Петербургском университете А. П. Артари защитил докторскую диссертацию «К физиологии и биологии хламидомонад» .
В летние семестры 1896, 1897, 1898 и 1900 годов Артари занимался в Галле, Лейпциге и Копенгагене. Диссертацию на степень магистра ботаники Артари защитил в Москве в 1902 году, а на степень доктора ботаники — в 1913 году в Санкт-Петербурге.
В 1885 Артари был избран действительным членом Московского общества испытателей природы.Александр Петрович Артари скончался 7 апреля 1919 года в Москве.